雇用保険について質問です。
会社を退職しても失業保険を受給しなかったら、雇用保険は通算されるのですか？

問題は、何を判断するときの話なのか、ですね。

手当の受給資格の有無は、離職からさかのぼって2年間に存在する被保険者期間の月数によります（単純に雇用保険に加入していた月数ではない）。
連続しているかしていないかは関係ありません。

一方、「再就職（再加入）まで1年以内なら」云々というのは、所定給付日数の判定の話です。
手当を何日分受けられるのかは、雇用保険に加入していた年数と年齢によりますが、この判定では、1年以内に再加入したなら、加入期間が通算されます。

自己都合で退職した場合、失業保険が３ヶ月間でないですよね、その間に再就職した場合は再就職支援金(正式名称はわかりません)ってでるのですか？？

再就職手当のことですね。
給付制限３ヶ月の最初の１ヵ月はハローワーク等による紹介の職業に就くことが支給条件の一つです。
それ以降は自分で探した職行でも大丈夫ですが、大きな支給条件として２つあります。
①１年以上の雇用が見込めるか
②雇用保険加入の労働条件か（週２０時間以上）
上記であれば支給されます。（それ以外にも条件はあります）
まだ支給前で全部支給日数が残っていますから６０％の支給です。（９０日支給予定なら５６日の支給になる）

【失業保険】特定理由離職者に該当しますか？
現在、群馬県在住なのですが、結婚を前提に同棲をする為、千葉県に引越します。
（入籍は半年～１年後に行う予定です）

今働いている会社は、全国に支店があるので、異動を希望したのですが
近い支店は人員が足りていて、退職者の予定もなく空きがない状態なので、退職をする事になりました。

また、８月中旬あたりが最終出勤となり、あとは有休消化で、９月末付の退職となる予定です。
最終出勤日後引越しをし、就職活動を行う予定です。

上記都合の場合、「特定理由離職者」に該当しますでしょうか？？？

また、ハローワークへの手続きは、有休中に行えますか？（離職書類が有休中に届いた場合）

かなり無理があると思います
（入籍を伴っていない事・移動は会社側の意思ではないこと・・・入籍しているなら、妻の方は該当するでしょうが）

失業保険の手続きは正式な退職後ですが、ハローワークに登録して求職活動することは出来ます。

そして、多分ですが、９月末までに仕事が決まれば、再就職手当も無いと思います（この場合次の仕事先でも雇用保険に加入するならば、雇用保険加入期間が継続される）

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