はじめて派遣の仕事をすることになり、後に問題にならぬよう予め失業保険についてお聞きします。ただし、それは「扶養控除等申告書」を出した甲欄給与に限られます。なので、しばらくは国民健康保険の加入となります。

雇用保険に半年加入しています。今退職すると失業保険は受給できるのでしょうか？
ちなみに勤続２ヶ月から社会保険に加入できたのですが、
そのためには会社が指定した病院で健康診断を受けなければいけなかったので、国民健康保険に加入していたのもあり病院にいくのがおっくうでまだ社会保険に加入していません。
社会保険に加入していなくても失業保険は受けられるのですか？

失業給付は自己都合退職の場合、雇用保険を１２ヶ月以上かけていないと支給されません。
それに７日間の待機期間と３ヶ月の給付制限の間は支給はなく、失業給付の手続きから実際に入金されるまでには４ヶ月ちょっとかかります。これはけっこうキツイですよ。
会社都合の場合は、雇用保険を６ヶ月以上かけていることが条件です。
また社会保険と雇用保険は別物なので関係ないですよ。

源泉徴収票についての質問です！
私は今年の9月末頃からアルバイトをしているものですが、それまでは去年の4月から今年の3月まで嘱託職員をやっていました。今年の5月から8月までは失業保険を
もらっていました。
そこで、質問なのですが、私のような立場の場合、今働いているアルバイト先に源泉徴収票を出さなければならないのでしょうか？

源泉徴収票のしくみがよくわからないので、どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

また、出さなかった場合はどうなるのですか？

嘱託職員時代のうち、25年になってから支払いを受けた分についての
源泉徴収票（25年分）が必要です。
ただし、それは「扶養控除等申告書」を出した甲欄給与に限られます。
今年の年末調整にこの前職分を提出できないとき、
または前職分が「扶養控除等申告書」を出さない乙欄給与であったとき、
確定申告を要することになります。

源泉徴収票は退職後1ヶ月以内の発行が所得税法で義務付けられていますから、
すでにお手元にあるはずです。甲か乙か忘れてしまった場合には、
その源泉徴収票をみれば一発でわかります。
「乙欄」という項目に「＊」がついていれば乙欄です。

なお、雇用保険法12条により、雇用保険の給付については、
租税を課されることはありません。（つまり、非課税ということ）

３月末で自己都合により退職します。失業保険の給付資格には該当しています。失業保険の給付は国民年金に加入していないと貰えないのですか？例えば、退職後すぐに夫の健康保険扶養者に入ってしまうと失業保険受給はできないのでしょうか？

年金は関係ないです。
健康保険は雇用保険受給中であると、
ご主人の扶養家族や健康保険に加入
できなくなります。
なので、しばらくは国民健康保険の
加入となります。（すごく高い！）
年金は雇用保険の受給で所得がない
と言えば、免除してくれますよ。
なんせ、私がそうですから。

はじめて派遣の仕事をすることになり、後に問題にならぬよう予め失業保険についてお聞きします。
＜質問１＞そもそも派遣社員は失業保険をもらえるのでしょうか？
＜質問２＞失業保険を受ける為には何かを証明しなくてはいけないのでしょうか？
＜質問３＞失業保険を受ける為には派遣会社が雇用保険に入っていることが必要不可欠なのでしょうか？（それとも雇用保険は自分が入る物なのでしょうか？）

宜しくお願いします。

1・・・もらえます。
２・・・２年間に１２ヶ月以上雇用保険をかけていれば、だれでももらえます。また、離職した時に「離職票」というのがもらえ、これをハローワークに持っていって手続きすることになります。

３・・２ヶ月以上のフルタイムとか、一定条件以上の基準を満たしていれば、加入は義務になりますので、必ず派遣会社の方がなんとかしてくれるはずです。
もし、派遣会社がどの仕事の案件にも、まったくそういう保険類をかけてないっていうのは、、、その派遣会社は相当怪しいです。
公的機関に通報するなり、他の派遣会社をあたるなりしてください。

４・・・年金・健康保険・雇用保険、これらをひっくるめて「社会保険」と呼びますが、雇用保険のみっていうこともあります。

２月に退職し、失業保険を受給中です５月に結婚なんですが、失業保険が130万未満の場合、結婚後は夫の扶養に入れますか？

入れます。
失業給付は課税対象外ですから税法上の収入とは見なされません。
硬い事を言えば、そのまま働かないのなら失業給付の条件（失業している、働く意思がある、働く能力がある）を満たしていないので、失業給付を受ける資格が無いといえます。